在高中数学的学习过程中，绝对值不等式是一个重要的知识点，也是许多学生感到困惑的部分。这类问题看似复杂，但只要掌握了正确的解题思路和方法，就能迎刃而解。本文将从基本概念出发，结合具体实例，详细讲解绝对值不等式的解法。
一、绝对值的基本性质
首先，我们需要了解绝对值的定义及其相关性质：
- 绝对值 |x| 表示一个数到原点的距离，因此 |x| ≥ 0。
- 若 x > 0，则 |x| = x；若 x < 0，则 |x| = -x。
- 对于任意实数 x 和 y，有以下性质：
1. |x + y| ≤ |x| + |y|（三角不等式）。
2. |x - y| ≥ ||x| - |y||。
3. |xy| = |x|·|y|。
这些性质为解决绝对值不等式提供了理论基础。
二、绝对值不等式的常见类型及解法
1. 基础型：|f(x)| < a 或 |f(x)| > a
这种类型的不等式是最常见的形式。解决时需要分情况讨论，根据绝对值的定义将其转化为不含绝对值的表达式。
例题：
解不等式 |2x - 3| < 5。
解析：
根据绝对值的定义，|2x - 3| < 5 等价于：
- (2x - 3) < 5 且 -(2x - 3) < 5。
分别求解两个部分：
- 2x - 3 < 5 → 2x < 8 → x < 4；
- -(2x - 3) < 5 → -2x + 3 < 5 → -2x < 2 → x > -1。
综合两部分，得到解集为：-1 < x < 4。
2. 复合型：|f(x)| > g(x)
当绝对值不等式中包含另一个函数 g(x) 时，需要进一步分析 f(x) 和 g(x) 的关系。
例题：
解不等式 |x^2 - 4| > x + 2。
解析：
先确定 x^2 - 4 的零点，即 x = ±2。因此，可以分为三个区间讨论：x < -2、-2 ≤ x ≤ 2 和 x > 2。
1. 当 x < -2 时，x^2 - 4 > 0，所以 |x^2 - 4| = x^2 - 4。原不等式变为：
x^2 - 4 > x + 2 → x^2 - x - 6 > 0。
解得 x < -2 或 x > 3（取 x < -2 的部分）。
2. 当 -2 ≤ x ≤ 2 时，x^2 - 4 ≤ 0，所以 |x^2 - 4| = -(x^2 - 4)。原不等式变为：
-(x^2 - 4) > x + 2 → -x^2 + 4 > x + 2 → x^2 + x - 2 < 0。
解得 -2 < x < 1。
3. 当 x > 2 时，x^2 - 4 > 0，同第一种情况，解得 x > 3。
综合三部分，最终解集为：x ∈ (-∞, -2) ∪ (-2, 1) ∪ (3, +∞)。
3. 综合型：多重绝对值嵌套
对于含有多个绝对值符号的不等式，通常需要逐步去绝对值，化简为分段函数的形式。
例题：
解不等式 |x - 1| + |x + 2| ≤ 5。
解析：
通过分析绝对值的分界点 x = 1 和 x = -2，可以将实数轴分为三个区间：
1. 当 x < -2 时，|x - 1| = -(x - 1)，|x + 2| = -(x + 2)。原不等式变为：
-(x - 1) - (x + 2) ≤ 5 → -2x - 1 ≤ 5 → x ≥ -3。
结合 x < -2，得解集为 [-3, -2)。
2. 当 -2 ≤ x ≤ 1 时，|x - 1| = -(x - 1)，|x + 2| = x + 2。原不等式变为：
-(x - 1) + (x + 2) ≤ 5 → 3 ≤ 5。
此时不等式恒成立，解集为 [-2, 1]。
3. 当 x > 1 时，|x - 1| = x - 1，|x + 2| = x + 2。原不等式变为：
(x - 1) + (x + 2) ≤ 5 → 2x + 1 ≤ 5 → x ≤ 2。
结合 x > 1，得解集为 (1, 2]。
综合三部分，最终解集为：[-3, -2) ∪ [-2, 1] ∪ (1, 2] = [-3, 2]。
三、总结与技巧
1. 分类讨论：绝对值的本质是分段函数，因此在解题时要根据绝对值内部表达式的正负性进行分类讨论。
2. 数形结合：借助数轴或图像，可以帮助更直观地理解绝对值不等式的解集。
3. 注意边界点：在分段讨论时，务必检查每个区间的边界点是否满足条件。
掌握以上方法后，再遇到复杂的绝对值不等式时，就可以从容应对了！
