在数学中，向量是一个非常重要的概念，尤其是在几何学和物理学领域。向量可以帮助我们描述空间中的方向和大小。而平面是三维空间中的一种特殊情况，因此研究平面内的向量具有重要意义。以下是一些常用的平面向量公式：
1. 向量加法与减法：
- 向量加法：如果两个向量分别为 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) 和 \(\vec{b} = (x_2, y_2)\)，那么它们的和为 \(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\)。
- 向量减法：\(\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)\)。
2. 向量的数量积（点积）：
- 数量积定义为 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos{\theta}\)，其中 \(\theta\) 是两向量之间的夹角。
- 如果已知向量坐标，则数量积也可以表示为 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\)。
3. 向量的模长：
- 向量 \(\vec{a} = (x, y)\) 的模长为 \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)。
4. 向量的方向余弦：
- 设 \(\vec{a} = (x, y)\)，则方向余弦为 \(\cos{\alpha} = \frac{x}{|\vec{a}|}\)，\(\cos{\beta} = \frac{y}{|\vec{a}|}\)，其中 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 分别是向量与 x 轴和 y 轴正方向之间的夹角。
5. 两向量平行条件：
- 如果两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 平行，则存在实数 \(k\) 使得 \(\vec{a} = k\vec{b}\)。
6. 两向量垂直条件：
- 如果两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 垂直，则它们的数量积为零，即 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)。
7. 投影公式：
- 向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影为 \(\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}\)。
8. 面积公式：
- 若有三个点 \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\)，则三角形 ABC 的面积可以表示为 \(\frac{1}{2} | x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) |\)。
这些公式构成了平面几何中处理向量问题的基础工具箱。掌握这些基本知识不仅有助于解决学术上的问题，还能应用于实际生活中的各种场景，如建筑设计、机器人导航等。希望这份总结能帮助你更好地理解和运用平面向量的相关知识。
