在数学学习中，幂的运算是基础而重要的内容之一，广泛应用于代数、指数函数以及科学计算等多个领域。掌握幂的运算法则不仅有助于提高解题效率，还能为后续更复杂的数学知识打下坚实的基础。以下是一些关于“幂的运算”的精选习题及详细解析，帮助学生巩固知识点，提升解题能力。
一、选择题
1. 计算 $ 2^3 \times 2^4 $ 的结果是（ ）
A. $ 2^7 $
B. $ 2^{12} $
C. $ 2^6 $
D. $ 2^5 $
解析：根据幂的乘法法则，$ a^m \times a^n = a^{m+n} $，因此 $ 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 $，正确答案为 A。
2. 下列哪个表达式等于 $ (3^2)^3 $？
A. $ 3^5 $
B. $ 3^6 $
C. $ 3^8 $
D. $ 3^9 $
解析：利用幂的乘方法则 $ (a^m)^n = a^{m \times n} $，可得 $ (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 $，正确答案为 B。
二、填空题
1. $ 5^2 \times 5^3 = 5^{\_\_} $
解析：根据同底数幂相乘的规则，结果为 $ 5^{2+3} = 5^5 $，故空格应填 5。
2. $ (x^4)^2 = x^{\_\_} $
解析：应用幂的乘方公式，得到 $ x^{4 \times 2} = x^8 $，故空格应填 8。
三、解答题
1. 计算 $ (2^3)^2 \div 2^4 $ 的值。
解析：
首先计算 $ (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 $；
然后进行除法运算：$ 2^6 \div 2^4 = 2^{6-4} = 2^2 = 4 $。
最终结果为 4。
2. 化简表达式 $ \frac{a^5 \cdot a^3}{a^2} $。
解析：
先将分子中的幂相乘：$ a^5 \cdot a^3 = a^{5+3} = a^8 $；
再进行除法运算：$ \frac{a^8}{a^2} = a^{8-2} = a^6 $。
化简结果为 $ a^6 $。
四、拓展题
1. 若 $ x^m \cdot x^n = x^8 $，且 $ m + n = 5 $，求 $ m $ 和 $ n $ 的值。
解析：
由 $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} = x^8 $，可知 $ m + n = 8 $。
但题目中给出 $ m + n = 5 $，显然存在矛盾。
因此，该题无解，或题目条件有误。
2. 比较 $ 2^{10} $ 与 $ 3^7 $ 的大小。
解析：
计算近似值：
$ 2^{10} = 1024 $，
$ 3^7 = 2187 $。
显然 $ 1024 < 2187 $，所以 $ 2^{10} < 3^7 $。
通过以上练习，可以加深对幂的运算规则的理解和运用。建议在做题过程中注意以下几点：
- 熟记幂的运算法则，如同底数幂相乘、相除、乘方等；
- 注意符号的变化，尤其是负数和分数指数的情况；
- 多做不同类型的题目，增强灵活运用的能力。
希望这份习题集能帮助你在幂的运算方面取得更大进步！
