在高等数学的学习过程中，积分是核心内容之一，无论是定积分还是不定积分，都是解决实际问题的重要工具。掌握常见的积分公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对积分概念的理解。本文将系统整理一些常用的积分公式，帮助大家更好地复习和应用。

一、基本积分公式

1. $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

2. $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$

3. $\int e^x \, dx = e^x + C$

4. $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$

5. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

6. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$

7. $\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C$

8. $\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C$

9. $\int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$

10. $\int \csc x \, dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C$

二、三角函数积分公式

1. $\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

2. $\int \cos^2 x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$

3. $\int \sin^3 x \, dx = -\frac{3}{4} \sin x + \frac{1}{12} \sin 3x + C$

4. $\int \cos^3 x \, dx = \frac{3}{4} \cos x - \frac{1}{12} \cos 3x + C$

5. $\int \sin^n x \, dx$ 和 $\int \cos^n x \, dx$ 可通过递推公式或降幂处理。

三、有理函数积分公式

对于形如 $\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx$ 的积分，通常采用分式分解法，将分母分解为一次因式或二次不可约因式的乘积，然后分别积分。

例如：

- $\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C$

- $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C$

四、反三角函数积分公式

1. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C$

2. $\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C$

3. $\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - a^2}} dx = \frac{1}{a} \text{arcsec} \left( \frac{|x|}{a} \right) + C$

五、特殊函数积分公式

1. $\int \frac{1}{x \ln x} dx = \ln |\ln x| + C$

2. $\int \frac{1}{x (\ln x)^n} dx = \frac{(\ln x)^{1 - n}}{1 - n} + C \quad (n \neq 1)$

3. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right) + C$

六、积分技巧与方法总结

- 换元积分法：适用于被积函数中存在复合函数的情况。

- 分部积分法：适用于乘积形式的积分，如 $\int u dv = uv - \int v du$。

- 有理函数分解法：用于分式积分。

- 三角代换法：适用于含有根号表达式的积分，如 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 等。

结语

积分是高等数学中的重要组成部分，熟练掌握各类积分公式和计算方法，是学好后续课程（如微分方程、概率统计等）的基础。希望本文能为大家提供一份实用的积分公式参考，助力学习与复习。在实际应用中，建议结合例题进行练习，以巩固记忆并提升解题能力。