【因式分解练习题】在数学的学习过程中，因式分解是一个非常重要的知识点，尤其在初中和高中阶段的代数学习中占据着重要地位。因式分解不仅是解方程、简化表达式的基础工具，也是提高运算能力的重要手段。为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，下面提供一些经典的因式分解练习题，并附有详细解析，供参考与练习。
一、基础练习题
1. 将多项式 $ x^2 + 5x + 6 $ 分解因式。
分析：
这是一个二次三项式，我们需要找到两个数，使得它们的乘积为常数项6，和为一次项系数5。
可以尝试：2 和 3，因为 $ 2 \times 3 = 6 $，$ 2 + 3 = 5 $。
所以，原式可以写成：
$$
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
$$
2. 分解 $ x^2 - 7x + 12 $。
分析：
常数项是12，一次项系数是-7。寻找两个负数，使得它们的乘积为12，和为-7。
可以考虑 -3 和 -4：
$$
x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
$$
3. 将 $ x^2 - 9 $ 分解因式。
分析：
这是一个平方差公式：
$$
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
$$
因此，
$$
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
$$
二、进阶练习题
4. 分解 $ x^3 - 8 $。
分析：
这是一个立方差公式：
$$
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
$$
所以，
$$
x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
$$
5. 分解 $ x^2 + 6x + 9 $。
分析：
这是一个完全平方公式：
$$
a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
$$
所以，
$$
x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
$$
6. 分解 $ x^4 - 16 $。
分析：
先看作平方差：
$$
x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)
$$
再对 $ x^2 - 4 $ 继续分解：
$$
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
$$
所以最终结果为：
$$
x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
$$
三、综合应用题
7. 已知 $ x^2 + px + q = (x + a)(x + b) $，其中 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，求 $ p $ 和 $ q $ 的值。
分析：
根据因式分解的展开形式：
$$
x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + px + q
$$
所以，
$$
p = a + b = 5,\quad q = ab = 6
$$
8. 若 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，求其根。
分析：
先分解因式：
$$
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
$$
所以，方程的解为：
$$
x = 2 \quad \text{或} \quad x = 3
$$
四、拓展练习题（挑战型）
9. 分解 $ x^3 + 3x^2 + 3x + 1 $。
分析：
观察发现这是一个完全立方公式：
$$
(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
$$
所以，
$$
x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3
$$
10. 分解 $ x^4 + 4 $。
分析：
这是一个“和平方”形式，但无法直接使用平方差公式。
可以尝试添加并减去 $ 4x^2 $ 来构造平方差：
$$
x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2
$$
然后使用平方差公式：
$$
(x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)
$$
通过以上练习题的反复训练，可以帮助学生熟悉各种因式分解的方法，如提取公因式、平方差、完全平方、立方和与立方差等。同时也能提升学生的逻辑思维能力和代数运算技巧。希望这些题目能对大家的学习有所帮助！
