【苏教版九年级下册第五章二次函数综合练习题】在初中数学的学习过程中，二次函数是一个非常重要的知识点，它不仅与实际生活紧密相关，而且在后续的高中数学学习中也占据着基础地位。本章主要围绕二次函数的定义、图像、性质以及应用展开，旨在帮助学生掌握二次函数的基本知识，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。
一、基础知识回顾
二次函数的一般形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数。
其图像是一个抛物线，开口方向由系数 $ a $ 决定：当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上；当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。
二次函数的顶点坐标公式为：
$$ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $$
对称轴为直线 $ x = -\frac{b}{2a} $。
此外，二次函数的图像还具有以下性质：
- 当 $ a > 0 $，函数有最小值；
- 当 $ a < 0 $，函数有最大值；
- 函数的增减性取决于对称轴的位置。
二、典型例题解析
例题1：
已知某二次函数的图像经过点 $ (1, 3) $ 和 $ (-1, 7) $，且顶点在 $ (0, 5) $，求该函数的解析式。
解：
由于顶点为 $ (0, 5) $，可设函数为 $ y = ax^2 + 5 $。
将点 $ (1, 3) $ 代入得：
$$ 3 = a(1)^2 + 5 \Rightarrow a = -2 $$
因此，函数解析式为：
$$ y = -2x^2 + 5 $$
例题2：
某商品的利润 $ y $（元）与销售量 $ x $（件）之间的关系满足二次函数 $ y = -2x^2 + 20x $，求利润的最大值及对应的销售量。
解：
函数 $ y = -2x^2 + 20x $ 的顶点横坐标为：
$$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-2)} = 5 $$
代入原函数得：
$$ y = -2(5)^2 + 20 \times 5 = -50 + 100 = 50 $$
所以，当销售量为 5 件时，利润最大，最大利润为 50 元。
三、综合练习题
1. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像过点 $ (0, 3) $、$ (1, 4) $、$ (-1, 0) $，求该函数的解析式。
2. 某抛物线的顶点为 $ (2, -1) $，且经过点 $ (3, 2) $，求该抛物线的解析式。
3. 已知函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $，求它的对称轴、顶点坐标和最值。
4. 某工厂生产某种产品，月利润 $ y $（万元）与产量 $ x $（千件）的关系为 $ y = -x^2 + 6x $，求最大利润是多少？
5. 若二次函数的图像与 x 轴交于两点 $ (-2, 0) $ 和 $ (4, 0) $，且过点 $ (1, 3) $，求该函数的解析式。
通过本章的学习，学生应能熟练掌握二次函数的相关概念和性质，并能运用所学知识解决实际问题。建议同学们多做练习题，巩固所学内容，提高分析和解决问题的能力。
