在机械工程领域中，控制理论是不可或缺的一部分。它帮助我们理解和设计复杂的机械系统，确保它们能够按照预期的方式运行。控制理论的核心在于一系列数学公式，这些公式构成了分析和解决实际问题的基础。

首先，让我们来看看最基本的线性系统的传递函数表示形式：

\[ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} \]

这里，\(G(s)\) 表示系统的传递函数，\(Y(s)\) 是输出信号的拉普拉斯变换，而 \(U(s)\) 则是输入信号的拉普拉斯变换。通过这个简单的表达式，我们可以开始研究一个系统的动态特性。

接下来是关于反馈控制系统的一个重要概念——闭环传递函数：

\[ T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)} \]

在这个公式里，\(H(s)\) 代表反馈路径上的增益或传递函数。闭环传递函数描述了当系统受到外部干扰时，其如何调整自身以保持稳定的能力。

再者，对于PID控制器（比例-积分-微分控制器），其控制律可以表示为：

\[ u(t) = K_p e(t) + K_i \int_{0}^{t} e(\tau)d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt} \]

其中，\(K_p\)、\(K_i\) 和 \(K_d\) 分别是比例、积分和微分系数；\(e(t)\) 表示误差信号，即设定值与实际值之间的差异。这种类型的控制器广泛应用于工业自动化过程中。

除了上述基本公式之外，在机械工程控制中还会频繁使用到状态空间模型来描述多变量系统的行为。状态空间模型通常由以下两部分组成：

1. 状态方程：

\[ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \]

2. 输出方程：

\[ y(t) = Cx(t) + Du(t) \]

其中，\(A\)、\(B\)、\(C\) 和 \(D\) 是矩阵，\(x(t)\) 表示系统的状态向量，\(u(t)\) 是控制输入，而 \(y(t)\) 则是观测到的输出。

以上只是机械工程控制领域中众多公式的一部分。每一个公式都有其特定的应用场景，并且需要结合实际情况灵活运用。掌握好这些基础知识，不仅有助于理解现有技术，还能激发新的创新思路。