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解析几何第四版习题答案第四章

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2025-07-11 01:48:56

解析几何第四版习题答案第四章】在学习《解析几何》的过程中,学生常常会遇到一些较为复杂的题目,尤其是第四章的内容,涉及空间解析几何的多个重要概念与计算方法。为了帮助同学们更好地理解和掌握这部分知识,本文将围绕《解析几何第四版》中第四章的习题进行简要解析,并提供相应的参考答案。

第四章主要讲解的是平面与直线的相关内容,包括平面方程、直线方程、点与平面、点与直线之间的距离,以及它们之间的位置关系等。这些知识点不仅是考试的重点,也是后续学习三维几何和向量分析的基础。

一、平面方程的几种形式

在本章中,常见的平面方程有:

1. 一般式:$ Ax + By + Cz + D = 0 $,其中 $ A, B, C $ 是平面的法向量。

2. 点法式:若已知平面上一点 $ M_0(x_0, y_0, z_0) $ 和法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $,则平面方程为:

$$

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

$$

3. 截距式:若平面与坐标轴交于三点 $ (a, 0, 0) $、$ (0, b, 0) $、$ (0, 0, c) $,则方程为:

$$

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

$$

通过这些形式,可以灵活地根据题目条件选择合适的表达方式,从而更方便地进行计算。

二、直线方程的表示方法

直线在空间中的表示通常有两种方式:

1. 参数式:设直线过点 $ M_0(x_0, y_0, z_0) $,方向向量为 $ \vec{s} = (l, m, n) $,则直线方程为:

$$

\begin{cases}

x = x_0 + lt \\

y = y_0 + mt \\

z = z_0 + nt

\end{cases}

$$

2. 对称式(标准式):若方向向量为 $ \vec{s} = (l, m, n) $,则直线方程可表示为:

$$

\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}

$$

此外,直线也可以由两个平面相交得到,此时需要联立两个平面方程求解。

三、点到平面的距离公式

对于点 $ P(x_1, y_1, z_1) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离,公式为:

$$

d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

这个公式在实际问题中非常实用,常用于判断点与平面的位置关系或计算最短距离。

四、点到直线的距离

点 $ P(x_1, y_1, z_1) $ 到直线 $ L $ 的距离可以通过向量叉乘的方式计算。设直线上一点为 $ M_0(x_0, y_0, z_0) $,方向向量为 $ \vec{s} = (l, m, n) $,则距离公式为:

$$

d = \frac{|\vec{PM_0} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}

$$

其中,$ \vec{PM_0} $ 是从点 $ P $ 到点 $ M_0 $ 的向量。

五、直线与平面的位置关系

直线与平面之间可能有三种关系:

1. 相交:直线与平面有一个公共点;

2. 平行:直线与平面没有交点,但方向向量与法向量垂直;

3. 直线在平面上:直线上的所有点都在该平面上。

判断这三种关系的关键在于利用向量之间的数量积与向量积来分析。

综上所述,《解析几何第四版》第四章的内容虽然抽象,但只要理解了基本概念和公式,结合练习题进行反复训练,就能逐步掌握这一部分的知识。建议同学们在做题时注重逻辑推理与图形想象,同时多参考教材中的例题和图示,以增强空间想象力和解题能力。

如需进一步了解具体习题的解答过程,可结合教材配套的习题解答资料进行深入学习。希望本文能为你的学习提供一定的帮助!

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